Как найти жесткость пружинного маятника

Как найти жесткость пружинного маятника

Задача 4.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=1 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=400 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)

(m= dfrac <(1 с)^<2>cdot 400 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=10,142399 кг ; approx 10 кг )

Задача 5.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=0,3 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=350 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до десятых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)

(m= dfrac <(0,3 с)^<2>cdot 350 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=0,79871 кг ; approx 0,8 кг )

Задача 6.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=0,07 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=150 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до сотых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)

(m= dfrac <(0,07 с)^<2>cdot 150 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=0,0186366 кг ; approx 0,02 кг )

Задача 7.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,07 с ) , а масса груза ( m=0,0186 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)

Задача 8.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,32 с ) , а масса груза ( m=0,8 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)

Задача 9.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,6 с ) , а масса груза ( m=4 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.

Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника

и возведем в квадрат обе части уравнения,

умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)

Найти частоту колебаний ( nu ) пружинного маятника, если жесткость его пружины (k=400 Н/м ), а масса его груза (m=0,25 кг ) ,
(pi=3,14 )
Ответ округлить до сотых
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Ответ: ( nu= 6,37 Гц )

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Ответ: ( nu= 6,37 Гц )

Массу груза пружинного маятника увеличили в 4 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Массу груза пружинного маятника увеличили в 25 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом (T_1=0,4 с. ;; ) Масса его груза (m_1=1 кг ). В какой-то момент к грузу пружинного маятника жестко прикрепили дополнительный груз массой (m_2=3 кг. ; ) Вычислить период колебаний пружинного маятника после присоединения дополнительного груза.
Показать ответ Показать решение Видеорешение

Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:

Период колебания пружинного маятника

Рассмотрим простейшую систему, в которой возможна реализация механических колебаний. Допустим, что на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$. Груз движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза.

Уравнение движения груза при таких колебаниях имеет вид:

где $^2_0=frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $_0=sqrt>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ и $B$ — амплитуда колебаний; $<(omega >_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $_1$ — начальные фазы колебаний.

Частота и период колебаний пружинного маятника

Косинус (синус) — периодическая функция, смещение $x$ будет принимать одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($nu $):

Период связан с циклической частотой колебаний как:

Зная, что для пружинного маятника $_0=sqrt>$, период колебаний его определим как:

Из выражения (5) мы видим, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза, находящегося на пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Такое свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, при этом возникает зависимость колебаний от амплитуды. Отметим, что формула (5) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Единицей измерения периода являются единицы времени, в Международной системе единиц это секунды:

Примеры задач на период колебания пружинного маятника

Задание. К упругой пружине прикрепили небольшой груз, при этом пружина растянулась на $Delta x$=0,09 м. Каким будет период колебаний данного пружинного маятника, если его вывести из равновесия?

Решение. Сделаем рисунок.

Рассмотрим состояние равновесия пружинного маятника. Груз прикрепили, после этого пружина растянулась на величину $Delta x$, маятник находится в состоянии равновесия. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости. Запишем второй закон Ньютона для состояния равновесия груза:

Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

Так как груз по условию задачи небольшой, пружина растянулась не сильно, следовательно выполняется закон Гука, величину силы упругости найдем как:

[F_u=kDelta x left(1.3right).]

Используя выражения (1.2) и (1.3) найдем отношение $frac$:

Период колебаний пружинного маятника при малых колебаниях можно найти, используя выражение:

Заменяя отношение массы груза к жесткости пружины на правую часть выражения (1.4), получим:

Вычислим период колебаний нашего маятника, если $g=9,8 frac<м><с^2>$:

Ответ. $T$=0,6 с

Задание. Две пружины с жесткостями $k_1$ и $k_2$ соединены последовательно (рис.2), к концу второй пружины присоединен груз массы $m$, Каков период колебаний данного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука.

Решение.Период колебаний пружинного маятника равен:

Если две пружины соединены последовательно, то их результирующая жесткость ($k$) находится как:

Вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:

Задача. Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника

Цель работы. Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.

Читайте также  Как прозвонить тэн утюга

Задача. Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.

Приборы и принадлежности. Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.

  1. Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения

Незатухающие свободные колебания

Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X

(1)

Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: . Подставляя в уравнение (1), получим: . Разделив правую и левую часть этого уравнения на m и принимая, что a = d 2 x/dt 2 , получим дифференциальное уравнение

. (2)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний пружинного маятника. Из этого уравнения следует, что после прекращения внешнего воздействия, приводящего к первоначальному отклонению системы от положения равновесия, движение груза обусловлено только действием упругой силы (сила тяжести вызывает постоянное смещение).

Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (2) имеет вид

. (3)

Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний. Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А называется амплитудой колебаний. Величина , стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания. Постоянная φ представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний. Величина

(4)

есть круговая или циклическая частота собственных колебаний, связанная с периодом колебаний Т соотношением . Период колебаний определяется

. (5)

Затухающие колебания

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:

Fтр = – , (6)

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения

ma = – kx . (7)

Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx/dt можно записать

, (8)

где коэффициент затухания; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний.

Чтобы получить зависимость смещения x от времени t, необходимо решить дифференциальное уравнение (8). В случае малых затуханий () решение уравнения можно записать следующим образом:

, (9)

где А и φ – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> ω ≈ ω.

Движение груза в этом случае можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой ω и переменной амплитудой, меняющейся по закону:

. (10)

На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.

Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения

Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания:

. (11)

Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания:

. (12)

Если за время t амплитуда уменьшается в n раз, то из уравнения (10) следует, что

. (13)

Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение

. (14)

Если за время t амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний

. (15)

Следовательно, логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Чем больше θ, тем быстрее происходит затухание колебаний.

2. Методика эксперимента и экспериментальная установка

Рис. 3. Схема установки

Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2. К штативу на пружине 3 подвешиваются грузы 4 различной массы. При изучении затухающих колебаний в задании 2 для усиления затухания используется кольцо 5, которое помещается в прозрачный сосуд 6 с водой.

где – угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m.

3. Порядок выполнения работы

Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

  1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза m. Для этого с помощью секундомера для каждого значения m трижды измерить время t полных n колебаний (n ≥10) и по среднему значению времени вычислить период . Результаты занести в табл. 1.
  2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода T2 от массы m. Из углового коэффициента графика определить жесткость пружины k по формуле (16).

Результаты измерений для определения периода собственных колебаний

  1. Дополнительное задание. Оценить случайную , полную и относительную εt ошибки измерения времени для значения массы m = 400 г.

Задание 2. Определение логарифмического декремента затухания пружинного маятника.

  1. На пружину подвесить груз массой m = 400 г с кольцом и поместить в сосуд с водой, так чтобы кольцо полностью находилось в воде. Определить период затухающих колебаний для данного значения m по методу, изложенному в п. 1 задания 1. Измерения повторить три раза и результаты занести в левую часть табл. 2.
  2. Вывести маятник из положения равновесия и, отметив по линейке его начальную амплитуду, измерить время t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в 2 раза. Измерения произвести три раза. Результаты занести в правую часть табл. 2.
  3. Рассчитать по формуле (14) логарифмический декремент затухания θ, учитывая, что ln2 = 0,693.

Результаты измерений

для определения логарифмического декремента затухания

  1. Какие колебания называются гармоническими? Дайте определение их основных характеристик.
  2. Какие колебания называются затухающими? Дайте определение их основных характеристик.
  3. Поясните физический смысл логарифмического декремента затухания и коэффициента затухания.
  4. Вывести зависимости от времени скорости и ускорения груза на пружине, совершающего гармонические колебания. Привести графики и проанализировать.
  5. Вывести зависимости от времени кинетической, потенциальной и полной энергии для груза, колеблющегося на пружине. Привести графики и проанализировать.
  6. Получить дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.
  7. Построить графики гармонических колебаний с начальными фазами π/2 и π/3.
  8. В каких пределах может изменяться логарифмический декремент затухания?
  9. Привести дифференциальное уравнение затухающих колебаний пружинного маятника и его решение.
  10. По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?
  11. Какое движение называется апериодическим? При каких условиях оно наблюдается?
  12. Что называется собственной частотой колебаний? Как она зависит от массы колеблющегося тела для пружинного маятника?
  13. Почему частота затухающих колебаний меньше частоты собственных колебаний системы?
  14. Подвешенный к пружине медный шарик совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый того же радиуса?
  15. При каком значении логарифмического декремента затухания колебания затухают быстрее: при θ1 = 0,25 или θ2 = 0,5? Привести графики этих затухающих колебаний.

Библиографический список

  1. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – 11-е изд. – М. : Академия, 2006. – 560 с.
  2. Савельев И. В. Курс общей физики : в 3 т. / И. В. Савельев. – СПб. : Лань, 2008. – Т. 1. – 432 с.
  3. Ахматов А. С. Лабораторный практикум по физике / А. С. Ахматова.
    – М. : Высш. шк., 1980. – 359 с.

Решение: Найти массу груза, который на пружине жесткостью 40 Н/м делает 20 колебаний за 8 с

Главная > Решение

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

МАЯТНИКА И ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ.

1. Какова длина математического маятника, если период его колебания равен 1 с?

Дано:

2. Найти массу груза, который на пружине жесткостью 40 Н/м
делает 20 колебаний за 8 с.

Дано:

3. Пружина под действием прикрепленного к ней груза массой 5 кг совершает 45 колебаний в минуту. Найти коэффициент жесткости пружины.

4. Ускорение свободного падения на поверхности Луны равно 1,6 м/с 2 . Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период колебания
на Луне был равен 4,9 с?

5. Математический маятник длиной 99,5 см за одну минуту совершал 30 полных колебаний. Определить период колебания маятника и ускорение свободного падения
в том месте, где находится маятник.

6. Груз массой 9,86 кг колеблется на пружине, имея период колебаний 2 с
Чему равна жесткость пружины? Какова частота колебаний груза?

7. Груз висит на пружине и колеблется с периодом 0,5 с.
На сколько укоротится пружина, если снять с нее груз?

8. Пружина под действием груза удлинилась на 1 см. Определите, с каким периодом начнет совершать колебания этот груз на пружине, если его вывести из положения равновесия.

1. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один из них совершает 10, а другой 30 колебаний?

2. Определите ускорение свободного падения на Луне, если маятниковые часы идут на ее поверхности в 2,46 раза медленнее, чем на Земле.

3. В неподвижном лифте висит маятник, период колебаний которого Т 1 =1 с. С каким ускорением движется лифт, если период колебаний этого маятника стал равным Т 2 =1,1 с? В каком направлении движется лифт?

4. Во сколько раз изменится период колебаний груза, подвешенного на резиновом жгуте, если отрезать 3/4 длины жгута и подвесить на его оставшуюся часть тот же груз?

5. При увеличении длины математического маятника на 10 см его период колебаний увеличился на 0,1 с. Каким был начальный период колебаний?

6. Два маятника, длины которых отличаются на 22 см, совершают в одном и том же месте Земли за некоторое время один — 30 колебаний, другой — 36 колебаний. Найдите длины маятников.

7. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить алюминиевый шарик того же радиуса? (плотность меди равна 8900 кг/м3, алюминия — 2700 кг/м 3 )

8. Груз массой 4 кг совершает горизонтальные колебания под действием пружины жесткостью 75 Н/м. При каком смещении груза от положения равновесия модуль его скорости равен 5 м/с, если в положении равновесия модуль его скорости равен 10 м/с?

МАЯТНИКА И ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ.

1. К пружине весов подвешена чашка с гирями. Период вертикальных колебаний чашки 1 с. После того, как на чашку положили добавочный груз, период стал 1,2 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления добавочного груза, если первоначальное удлинение было 4 см.

2. К пружине подвешено тело массой 2 кг. Если к нему присоединить тело массой 300 г, то пружина растянется еще на 2 см. Каков будет период колебаний, если трехсотграммовый довесок снять и предоставить телу массой 2 кг колебаться?

3. Как изменится период колебаний маятника при перенесении его с Земли на Марс, если масса Марса в 9,3 раза меньше

массы Земли, а радиус Марса в 1,9 раза меньше радиуса Земли?

4. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найдите полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость. В каком положении она достигается?

5. С какой частотой будет колебаться палка массой 2 кг и площадью поперечного сечения 5 см2, плавающая на поверхности воды в вертикальном положении?

6. В воде плавает брусок из дуба размерами 10х20х20 см. Брусок слегка погрузили в воду и отпустили. Найти частоту колебаний бруска.

7. С каким ускорением α и в каком направлении должна двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней секундный маятник за 2 мин 30 с совершил 100 колебаний?

8. При какой скорости поезда маятник длиной 11 см, подвешенный в вагоне, особенно сильно раскачивается, если расстояние между стыками рельсов 12,5 м?

Лабораторная работа №5. Изучение колебаний пружинного маятника

Лабораторная работа №5

Изучение колебаний пружинного маятника

Цель : определить собственную частоту колебаний пружинного маятника теоретически и экспериментально, сравнить полученные результаты.

Оборудование: 1) набор грузов по механике НГМ-100; 2) держатель со спиральной пружиной; 3) штатив для фронтальных работ; 4) метр демонстра­ционный; 5) секундомер электронный.

Груз, подвешенный на стальной пружине и выведенный из по­ложения равновесия, совершает под действием сил тяжести и упру­гости пружины гармонические колебания. Собственная частота колебаний такого пружинного маятника определяется выражением

где k — жесткость пружины, т — масса тела.

Задача данной работы заключается в том, чтобы эксперимен­тально проверить полученную теоретически закономерность. Для решения этой задачи сначала необходимо определить жесткость k пружины, применяемой в лабораторной установке, массу т груза и вычислить собственную частоту и период То колебаний маятни­ка. Затем, подвесив груз массой m на пружину, экспериментально проверить полученный теоретически результат.

2. Укрепите пружину с держателем в лапке штатива и под­весьте к ней груз массой 100 г. Рядом с грузом укрепите вертикально измерительную линейку и отметьте начальное положение груза (рис.).

3. Подвесьте к пружине два груза массой по 100 г и измерь­те ее удлинение х, вызванное действием силы F =2Н. По из­меренному удлинению х и из­вестной силе F вычислите жест­кость пружины:

4. Зная жесткость пружины, вычислите собственную частоту
колебаний щотеорет и период То пру­жинного маятника массой 200 и 300 г.

5. Подвесьте к пружине два груза массой 100г, выведите маятник из положения равновесия, сместив его на 5-7 см, и экспериментально определите частоту колебаний щопрактич маятника. Для этого измерьте интервал времени t, за который маятник совершает 20 колебаний, и рассчитайте по формуле:

=

где N-число колебаний.

6. Такие же измерения выполните с маятником массой 300г.

Вычислите отклонение расчетного значения собственной ча­стоты щотеорет колебаний пружинного маятника от частоты щопрактич, получен­ной экспериментально, и результаты измерений и вычислений занесите в таблицу.

По какому закону происходит колебание тела, подвешенного на пружине? По какому закону происходит изменение скорости и ускорения тела, колеблющегося на пружине? По какому закону происходит изменение потенциальной и кинетической энергии тела, колеблющегося на пружине? Зависит ли частота колебаний пружинного маятника от ам­плитуды колебаний? Формулы для расчета периода, частоты пружинного маятника.

Добавить комментарий