Как найти жесткость пружинного маятника
Как найти жесткость пружинного маятника
Задача 4.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=1 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=400 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)
(m= dfrac <(1 с)^<2>cdot 400 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=10,142399 кг ; approx 10 кг )
Задача 5.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=0,3 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=350 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до десятых.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)
(m= dfrac <(0,3 с)^<2>cdot 350 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=0,79871 кг ; approx 0,8 кг )
Задача 6.
Найти массу груза пружинного маятника, если его период ( T=0,07 с ) , а коэффициент жесткости пружины ( k=150 Н/м ; )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до сотых.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (4 pi^2)
(m= dfrac <(0,07 с)^<2>cdot 150 Н/м > <4 cdot 3,14^2>=0,0186366 кг ; approx 0,02 кг )
Задача 7.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,07 с ) , а масса груза ( m=0,0186 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)
Задача 8.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,32 с ) , а масса груза ( m=0,8 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)
Задача 9.
Найти коэффициент жесткости пружины пружинного маятника, если его период ( T=0,6 с ) , а масса груза ( m=4 кг )
(pi=3,14 ).
Ответ округлить до целых.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Запишем уравнение нахождения периода пружинного маятника
и возведем в квадрат обе части уравнения,
умножим обе части уравнения на ( k )
и разделим на (T^2)
Найти частоту колебаний ( nu ) пружинного маятника, если жесткость его пружины (k=400 Н/м ), а масса его груза (m=0,25 кг ) ,
(pi=3,14 )
Ответ округлить до сотых
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Ответ: ( nu= 6,37 Гц )
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Ответ: ( nu= 6,37 Гц )
Массу груза пружинного маятника увеличили в 4 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Массу груза пружинного маятника увеличили в 25 раза. Во сколько раз увеличился период колебаний этого пружинного маятника?
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Пружинный маятник совершает гармонические колебания с периодом (T_1=0,4 с. ;; ) Масса его груза (m_1=1 кг ). В какой-то момент к грузу пружинного маятника жестко прикрепили дополнительный груз массой (m_2=3 кг. ; ) Вычислить период колебаний пружинного маятника после присоединения дополнительного груза.
Показать ответ Показать решение Видеорешение
Запишем формулу нахождения периода пружинного маятника:
Период колебания пружинного маятника
Рассмотрим простейшую систему, в которой возможна реализация механических колебаний. Допустим, что на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$. Груз движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза.
Уравнение движения груза при таких колебаниях имеет вид:
где $
где $
Частота и период колебаний пружинного маятника
Косинус (синус) — периодическая функция, смещение $x$ будет принимать одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.
Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($nu $):
Период связан с циклической частотой колебаний как:
Зная, что для пружинного маятника $
Из выражения (5) мы видим, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза, находящегося на пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Такое свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, при этом возникает зависимость колебаний от амплитуды. Отметим, что формула (5) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.
Единицей измерения периода являются единицы времени, в Международной системе единиц это секунды:
Примеры задач на период колебания пружинного маятника
Задание. К упругой пружине прикрепили небольшой груз, при этом пружина растянулась на $Delta x$=0,09 м. Каким будет период колебаний данного пружинного маятника, если его вывести из равновесия?
Решение. Сделаем рисунок.
Рассмотрим состояние равновесия пружинного маятника. Груз прикрепили, после этого пружина растянулась на величину $Delta x$, маятник находится в состоянии равновесия. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости. Запишем второй закон Ньютона для состояния равновесия груза:
Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:
Так как груз по условию задачи небольшой, пружина растянулась не сильно, следовательно выполняется закон Гука, величину силы упругости найдем как:
[F_u=kDelta x left(1.3right).]Используя выражения (1.2) и (1.3) найдем отношение $frac
Период колебаний пружинного маятника при малых колебаниях можно найти, используя выражение:
Заменяя отношение массы груза к жесткости пружины на правую часть выражения (1.4), получим:
Вычислим период колебаний нашего маятника, если $g=9,8 frac<м><с^2>$:
Ответ. $T$=0,6 с
Задание. Две пружины с жесткостями $k_1$ и $k_2$ соединены последовательно (рис.2), к концу второй пружины присоединен груз массы $m$, Каков период колебаний данного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука.
Решение.Период колебаний пружинного маятника равен:
Если две пружины соединены последовательно, то их результирующая жесткость ($k$) находится как:
Вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:
Задача. Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника
Цель работы. Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.
Задача. Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.
Приборы и принадлежности. Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.
- Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения
Незатухающие свободные колебания
Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X
(1)
Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: 
. Подставляя 
в уравнение (1), получим: 
. Разделив правую и левую часть этого уравнения на m и принимая, что a = d 2 x/dt 2 , получим дифференциальное уравнение
. (2)
Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний пружинного маятника. Из этого уравнения следует, что после прекращения внешнего воздействия, приводящего к первоначальному отклонению системы от положения равновесия, движение груза обусловлено только действием упругой силы (сила тяжести вызывает постоянное смещение).
Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (2) имеет вид
. (3)
Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний. Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А называется амплитудой колебаний. Величина 
, стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания. Постоянная φ представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний. Величина
(4)
есть круговая или циклическая частота собственных колебаний, связанная с периодом колебаний Т соотношением 
. Период колебаний определяется
. (5)
Затухающие колебания
Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:
Fтр = – rυ, (6)
где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения
ma = – kx – rυ. (7)
Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx/dt можно записать
, (8)
где 
– коэффициент затухания; 
– циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний.
Чтобы получить зависимость смещения x от времени t, необходимо решить дифференциальное уравнение (8). В случае малых затуханий (
) решение уравнения можно записать следующим образом:
, (9)
где А и φ – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> 
ω ≈ ω.
Движение груза в этом случае можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой ω и переменной амплитудой, меняющейся по закону:
. (10)
На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.
Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения
Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания:
. (11)
Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания:
. (12)
Если за время t‘ амплитуда уменьшается в n раз, то из уравнения (10) следует, что
. (13)
Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение
. (14)
Если за время t‘ амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний
. (15)
Следовательно, логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Чем больше θ, тем быстрее происходит затухание колебаний.
2. Методика эксперимента и экспериментальная установка
– угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m.
вычислить период 
. Результаты занести в табл. 1. 
, полную 
и относительную εt ошибки измерения времени для значения массы m = 400 г. 
ано:
ано:
и период То колебаний маятника. Затем, подвесив груз массой m на пружину, экспериментально проверить полученный теоретически результат.
=
